Question

19．已知a＞b＞0，橢圓C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₁與C₂離心率之積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則C₂的漸近線方程為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$x±y=0
• B． x±2y=0
• C． x±$\sqrt{2}$y=0
• D． 2x±y=0

Answer 1

分析 運用橢圓和雙曲線的離心率公式，可得a，b的方程，再由雙曲線的漸近線方程，即可得到結(jié)論．

解答 解：圓C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，
雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$，
由題意可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得a²=2b²，即為a=$\sqrt{2}$b，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則為x$±\sqrt{2}$y=0，
故選C．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率和漸近線方程的求法，考查運算能力，屬于易錯題．