Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則$\frac{a}$取值范圍是（-2，$-\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 把x=1，y=0代入函數(shù)解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的關(guān)系代入函數(shù)解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，由橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍，即有g(shù)（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規(guī)劃求得$\frac{a}$的范圍．

解答 解：依題意可知f（1）=1+a+b+c=0，
∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b，
代入f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1），
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1．
即有g(shù)（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，
如圖畫出不等式組表示的可行域．由$\frac{a}$=$\frac{b-0}{a-0}$表示點（a，b）與（0，0）的斜率，
用線性規(guī)劃得$\frac{a}$的取值范圍是（-2，-$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（-2，$-\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的零點和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識．考查基礎(chǔ)知識的綜合運用．