Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{4{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線的漸近線方程是（　�。�

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\frac{1}{3}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$x

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將橢圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，計算可得橢圓的離心率e₁，結(jié)合題意可得雙曲線的離心率e₂，又由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得e₂²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，由雙曲線漸近線方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{4{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{4}}$=1，
則其離心率e₁²=1-$\frac{\frac{{m}^{2}}{4}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，則橢圓的離心率e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則雙曲線的離心率e₂=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點在x軸上，又由其離心率e₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則有e₂²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
則其漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；
故選：A．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出橢圓的離心率．