Question

6．已知a∈R，函數(shù)f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+（4a+2）x-a（a+2）lnx在（0，1）內(nèi)有極值，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-2，0）∪（0，1）
• C． （-2，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，1）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=-3x²+（4a+2）x-a（a+2），由題意可得，g（x）=0在（0，1）內(nèi)有解．若g（x）=0只有一解，若g（x）=0有兩解，運用零點存在定理和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到不等式組，解得它們，注意a=0的情況，再求并集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+（4a+2）x-a（a+2）lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=-3x+（4a+2）-$\frac{a（a+2）}{x}$=$\frac{-3{x}^{2}+（4a+2）x-a（a+2）}{x}$，
令g（x）=-3x²+（4a+2）x-a（a+2），
由題意可得，g（x）=0在（0，1）內(nèi)有解．
若g（x）=0只有一解，
則有g(shù)（0）g（1）＜0，即-a（a+2）（-a²+2a-1）＜0，
解得-2＜a＜0；
若g（x）=0有兩解，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＜0}\\{g（1）＜0}\\{（4a+2）^{2}-12a（a+2）＞0}\\{0＜\frac{2a+1}{3}＜1}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0或a＜-2}\\{a≠1}\\{a≠1}\\{-\frac{1}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1．
當(dāng)a=0時，f（x）=-$\frac{3}{2}$x²+2x在x=$\frac{2}{3}$處取得極大值，成立．
綜上可得a的取值范圍是（-2，1）．
故選D．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求極值，主要考查二次方程的實根的分布，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．