Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分別是棱PC，AB的中點(diǎn)，且MN⊥CD．
（Ⅰ）求證：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AB=AD，求直線MN與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD邊中點(diǎn)E，連接AE，EM，根據(jù)MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根據(jù)已知條件可以說明PO⊥平面ABCD，從而得到CD⊥PO，這樣CD就垂直于平面PAD內(nèi)兩條相交直線，由線面垂直的判定定理從而得到AD⊥CD；
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)F，連接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三條直線兩兩垂直，從而可分別以這三條直線為x，y，z軸，可設(shè)AB=2，這樣即可求得圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)．從而求出向量$\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DP}$的坐標(biāo)，這時候設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，若設(shè)MN和平面PBD所成角為θ，從而根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MN}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MN}|}|$即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：如圖，

取PD中點(diǎn)E，連AE，EM，則EM∥AN，且EM=AN；
∴四邊形ANME是平行四邊形，MN∥AE；
∵M(jìn)N⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；
取AD中點(diǎn)O，連PO，△PAD是等邊三角形，則PO⊥AD；
又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；
∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；
故CD⊥平面PAD，AD?平面PAD；
∴CD⊥AD，即AD⊥CD；
（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得?ABCD是正方形；
取BC邊的中點(diǎn)F，連接OF，則分別以O(shè)A，OF，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
設(shè)AB=2，則A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）；
設(shè)平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}z}\\{y=\sqrt{3}z}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{3}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
設(shè)直線MN與平面PBD所成的角為θ，則：
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 考查面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決直線和平面所成角的問題，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，注意線面角和直線和平面法向量所成角的關(guān)系，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．