Question

2．等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和記為S，由原數(shù)列各項(xiàng)的倒數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}，則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)之和S′是（　　）

• A． $\frac{1}{S}$
• B． $\frac{1}{{q}^{n}S}$
• C． $\frac{{q}^{n}}{S}$
• D． $\frac{S}{{q}^{n-1}}$

Answer 1

分析 對(duì)q分類討論，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式計(jì)算出即可．

解答 解：q=1時(shí)，a_n=1，S=n，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，S′=n，∴S′=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
當(dāng)q≠1時(shí)，a_n=q^n-1，$S=\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$.$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{q}^{n-1}}$，∴S′=$\frac{1-\frac{1}{{q}^{n}}}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1-{q}^{n}}{{q}^{n-1}（1-q）}$=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
綜上可知：S′=$\frac{S}{{q}^{n-1}}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．