Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=a_n+1-n•2ⁿ⁺³-4，n∈N^*，且a₁，S₂，2a₃+4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；          
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，n∈N^*，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和條件，令n=1，2得到方程，即可求得a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由${S_n}={a_{n+1}}-n•{2^{n+3}}-4$得，${S_{n-1}}={a_n}-（n-1）{2^{n+2}}-4$，n≥2，兩式相減，結(jié)合條件運(yùn)用累加法和等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求通項(xiàng)公式．

解答 解：（Ⅰ）由a₁，S₂，2a₃+4成等比數(shù)列．即有
a₁（2a₃+4）=（a₁+a₂）²，
由S_n=a_n+1-n•2ⁿ⁺³-4，可得a₁=a₂-20，
a₁+a₂=a₃-68，
解得a₁=4，a₂=24，a₃=96；
（Ⅱ）由${S_n}={a_{n+1}}-n•{2^{n+3}}-4$得，${S_{n-1}}={a_n}-（n-1）{2^{n+2}}-4$，n≥2
兩式相減得，${a_{n+1}}=2{a_n}+（n+1）{2^{n+2}}$，
兩邊同時除以2ⁿ⁺¹得，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=2（n+1）$，則b_n+1-b_n=2（n+1），
當(dāng)n≥2時，b_n=b₁+b₂-b₁+…b_n-b_n-1=2（1+2+…n）=n（1+n），
當(dāng)n=1時，b₁=2滿足上式，
所以b_n=n（n+1），
從而a_n=n（n+1）•2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的通項(xiàng)和數(shù)列的求和的關(guān)系，同時考查累加法和等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．