Question

18．若對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0，x+$\frac{1}{x+a}$＞a恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是[0，1]．

Answer 1

分析 由題意可得x+a+$\frac{1}{x+a}$＞2a恒成立，討論當(dāng)x+a＞0，當(dāng)x+a＜0時(shí)，運(yùn)用基本不等式，結(jié)合恒成立思想即可得到a的范圍．

解答 解：對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞0，x+$\frac{1}{x+a}$＞a恒成立，
即為x+a+$\frac{1}{x+a}$＞2a恒成立，
當(dāng)x+a＞0，由恒成立可得a≥0，
即有x+a+$\frac{1}{x+a}$≥2$\sqrt{（x+a）•\frac{1}{x+a}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-a，取得最小值2．
即有2a＜2，解得a＜1，
當(dāng)a=1時(shí)，有x+1+$\frac{1}{x+1}$＞2恒成立，
即有0≤a≤1；
當(dāng)x+a＜0時(shí)，x+a+$\frac{1}{x+a}$≤-2$\sqrt{（x+a）•\frac{1}{x+a}}$=-2，
由于x+a+$\frac{1}{x+a}$有最大值，無(wú)最小值，故不恒成立．
故答案為：[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．