Question

8．已知t為常數(shù)，函數(shù)f（x）=|x³-3x-t+1|在區(qū)間[-2，1]上的最大值為2，則實(shí)數(shù)t=1．

Answer 1

分析 考慮函數(shù)g（x）=x³-3x，求出導(dǎo)數(shù)，求得最值，再考慮h（x）=x³-3x-t+1的圖象為g（x）上下平移的結(jié)果，而f（x）就是h（x）負(fù)的部分翻到x軸上面得到的圖象，討論h（0）≥0，h（0）≤0，求出f（x）的最大值，解方程即可得到所求．

解答 解：觀察函數(shù)g（x）=x³-3x，
g′（x）=3x²-3，表明g（x）在[-2，-1]遞增，在[-1，1]遞減，
g（-2）=-2，g（1）=-2，最大值g（-1）=2，
容易畫出g（x）圖象如右，
h（x）=x³-3x-t+1就是g（x）上下平移的結(jié)果，
f（x）就是h（x）負(fù)的部分翻到x軸上面得到的圖象，
考察h（x）①h（0）≥0，則h（x）最大值的絕對(duì)值大于h（x）最小值的絕對(duì)值，
因此h（0）=-t+1≥0，f（x）最大值在x=-1處取得，與h（x）最大值相等，
h（-1）=-t+3=2，解得t=1；
②h（0）≤0，則h（x）最大值的絕對(duì)值小于h（x）最小值的絕對(duì)值，
因此h（0）=-t+1≤0，f（x）最大值在x=-2或者x=1處取得，
與h（x）最小值的相反數(shù)相等．h（1）=-t-1=-2，解得t=1．
綜上可得t=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．