Question

10．若函數f（x）=x²|x-a|在區(qū)間[0，2]上單調遞增，則實數a的取值范圍a≤0或a≥3．

Answer 1

分析 寫出分段函數f（x），然后分別利用導函數在[0，2]上大于等于0求解a的取值范圍．

解答 解：f（x）=x²|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}，x≥a}\\{-{x}^{3}+a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
當x≥a時，f（x）=x³-ax²，f′（x）=3x²-2ax，
要使f（x）在[0，2]上單調遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤x}\\{3{x}^{2}-2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a≤x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
對于3x²-2ax≥0，即2ax≤3x²，x=0時對任意a都成立，當x∈（0，2]時，$a≤\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≤0；
當x＜a時，f（x）=-x³+ax²，f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在[0，2]上單調遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞x}\\{-3{x}^{2}+2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a＞x在[0，2]上恒成立，得a＞2；
對于-3x²+2ax≥0，x=0時對任意a都成立，當x∈（0，2]時，$a≥\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≥3，
∴當x＜a時，滿足f（x）在[0，2]上單調遞增的a≥3．
綜上，使函數f（x）=x²|x-a|在區(qū)間[0，2]上單調遞增的實數a的取值范圍是a≤0或a≥3．
故答案為：a≤0或a≥3．

點評 本題考查了函數單調性的性質，考查了利用導數研究函數的單調性，著重考查了分類討論的數學思想方法，屬中檔題．