Question

9．已知，如圖，AB是eO的直徑，AC切⊙O于點A，AC=AB，CO交⊙O于點P，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E
（1）求證：FA∥BE
（2）求證：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）證明∠OAF=∠B，即可證明FA∥BE
（2）證明△APC∽△FAC，可得$\frac{AP}{FA}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AC}$，利用AB=AC，即可證明$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

解答 證明：（1）在⊙O中，∵直徑AB與FP交于點O，∴OA=OF
∴∠OAF=∠F，
∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B，
∴FA∥BE；
（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦，
∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴$\frac{AP}{FA}$=$\frac{PC}{AC}$，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AC}$，
∵AB=AC，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．

點評 本題考查兩直線平行的證明，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．