Question

3．已知正方形ABCD的邊長為1，直線MN過正方形的中心O交邊AD，BC于M，N兩點，若點P滿足2$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值為-$\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，|2$\overrightarrow{OP}$|≥$\frac{1}{2}$，故 ${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{16}$．由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$，數(shù)形結(jié)合求得它的最小值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由2$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
可得2$\overrightarrow{OP}$的終點在線段AB上，|2$\overrightarrow{OP}$|≥$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{16}$．
由于$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）
=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$+${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{16}$=-$\frac{7}{16}$，
當且僅當λ=0 或λ=1時，取等號．
故答案為：-$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、向量的三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．