Question

1．數列1×$\frac{1}{2}$，2×$\frac{1}{4}$，3×$\frac{1}{8}$，4×$\frac{1}{16}$，…的前n項和為（　�。�

• A． 2-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
• B． 2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{1}{2}$（n²+n+2）-$\frac{1}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{1}{2}$（n+1）n+1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$

Answer 1

分析 結合已知條件，利用錯位相減求和法能求出數列1×$\frac{1}{2}$，2×$\frac{1}{4}$，3×$\frac{1}{8}$，4×$\frac{1}{16}$，…的前n項和．

解答 解：數列1×$\frac{1}{2}$，2×$\frac{1}{4}$，3×$\frac{1}{8}$，4×$\frac{1}{16}$，…的前n項和：
S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+4×$\frac{1}{16}$+…n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1×\frac{1}{{2}^{2}}+2×\frac{1}{{2}^{3}}+3×\frac{1}{{2}^{4}}+4×\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$n×\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．
故選：B．

點評 本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．