Question

9．（1）隨機變量ξ的分布列如下：

ξ	-1	0	1
P	a	b	c

其中a、b、c成等差數(shù)列，則P（|ξ|=1）=$\frac{2}{3}$，公差d的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
（2）設離散型隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	0.2	0.1	0.1	0.3	m

求：①2X+1的分布列；②|X-1|的分布列．

Answer 1

分析 （1）由a、b、c成等差數(shù)列和隨機變量ξ的分布列的性質(zhì)求出b=$\frac{1}{3}$，a+c=$\frac{2}{3}$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{3}-d≤1}\\{0≤\frac{1}{3}+d≤1}\end{array}\right.$，由此能求出結(jié)果．
（2）由分布列的性質(zhì)得先求出m=0.3，再列表，從而能求出2X+1的分布列和|X-1|的分布列．

解答 解：（1）∵a、b、c成等差數(shù)列，
∴由隨機變量ξ的分布列的性質(zhì)得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2b}\\{a+b+c=1}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{1}{3}$，a+c=$\frac{2}{3}$，
∴P（|ξ|=1）=P（ξ=-1）+P（ξ=1）=a+b=$\frac{2}{3}$，
由a、b、c成等差數(shù)列，b=$\frac{1}{3}$，隨機變量ξ的分布列的性質(zhì)得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{3}-d≤1}\\{0≤\frac{1}{3}+d≤1}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}≤d≤\frac{1}{3}$，
∴公差d的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
故答案為：$\frac{2}{3}$，[-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．
（2）由分布列的性質(zhì)得：
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3，
列表：

X	0	1	2	3	4
2X+1	1	3	5	7	9
|X-1|	1	0	1	2	3

由上表得到：
2X+1的分布列為：

2X+1	1	3	5	7	9
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

|X-1|的分布列為：

|X-1|	0	1	2	3
P	0.1	0.3	0.3	0.3

點評 本題考查概率的求法，考查等差數(shù)列的公差的取值范圍的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，解題時要注意分布列的性質(zhì)的合理運用．