Question

8．已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時(shí)，其面積等于16+16$\sqrt{3}$，則球O的體積等于（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{2}π}{3}$
• B． $\frac{16\sqrt{2}π}{3}$
• C． $\frac{32\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{64\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于16+16$\sqrt{3}$，確定該四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，進(jìn)而可求球的半徑為R，從而可求球的體積．

解答 解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，
∵該四棱錐的表面積等于16+16$\sqrt{3}$，
設(shè)球O的半徑為R，則AC=2R，SO=R，如圖，
∴該四棱錐的底面邊長(zhǎng)為AB=$\sqrt{2}$R，
則有（$\sqrt{2}$R）²+4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$R×$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}+{R}^{2}}$=16+16$\sqrt{3}$，
解得R=2$\sqrt{2}$
∴球O的體積是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{64\sqrt{2}}{3}$π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，再利用公式求解．