Question

3．已知函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期、單調增區(qū)間、對稱軸和對稱中心；
（2）該函數圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數的周期性、單調性以及圖象的對稱性，求得f（x）的最小正周期、單調增區(qū)間、對稱軸和對稱中心．
（2）由題意利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．

解答 解：（1）函數f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
求得 $kπ-\frac{5}{12}π≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
∴原函數的單調增區(qū)間是$[kπ-\frac{5}{12}π\(zhòng);，\;kπ+\frac{π}{12}]\;k∈Z$．
令f（x）=0得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0，∴$2x+\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，
∴對稱中心為$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}\;，\;0）\;k∈Z$．
令f（x）=±2得$sin（2x+\frac{π}{3}）=±1$，$2x+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
∴對稱軸為直線$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z$．
（2）把y=sinx（x∈R）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
把所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性、單調性以及圖象的對稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．