Question

10．如圖所示，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂、F₁、F₂分別是其左右頂點，上下頂點和左右焦點，四邊形A₁B₁A₂B₂的面積是四邊形B₁F₂B₂F₁面積的2倍．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）三角形B₁B₂A₂的外接圓記為⊙M，若直線B₁F₂被⊙M截得的弦長為$\frac{13}{4}$，求⊙M的方程．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形A₁B₁A₂B₂的面積是四邊形B₁F₂B₂F₁面積的2倍，建立方程，即可求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)M（m，0），則（a-m）²=m²+b²，m=$\frac{1}{8}$a=$\frac{1}{4}$c，r=$\frac{7}{8}$a=$\frac{7}{4}$c，直線B₁F₂的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，即bx-cy-bc=0，$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$c=0，利用勾股定理，求出c．即可求⊙M的方程．

解答 解：（1）∵四邊形A₁B₁A₂B₂的面積是四邊形B₁F₂B₂F₁面積的2倍，
∴$\frac{1}{2}$×2a×b×2=2×$\frac{1}{2}$×2c×b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)M（m，0），則（a-m）²=m²+b²，
∴m=$\frac{1}{8}$a=$\frac{1}{4}$c，r=$\frac{7}{8}$a=$\frac{7}{4}$c，
直線B₁F₂的方程為$\frac{x}{c}+\frac{y}{-b}$=1，即bx-cy-bc=0，
∵b=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$c=0
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{4}c-\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c，
∵直線B₁F₂被⊙M截得的弦長為$\frac{13}{4}$，
∴（$\frac{3\sqrt{3}}{8}$c）²+（$\frac{13}{8}$）²=（$\frac{7}{4}$c）²，
∴c=$\frac{1}{2}$，
∴m=$\frac{1}{8}$，r=$\frac{7}{8}$，
∴⊙M的方程（x-$\frac{1}{8}$）²+y²=$\frac{49}{64}$．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．