Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為l：2x-y-1=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，建立方程組，從而可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）由方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，可得x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解．構(gòu)造函數(shù)
g（x）=x²-2mlnx-2mx，利用g（x）=0有唯一解，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，從而可求實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=-$\frac{1}{2}$a-b=1．
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．
則f（x）=lnx+x；
（2）∵方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解．
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2mx-2m}{x}$．
令g′（x）=0，則2x²-2mx-2m=0．
∵m＞0，∴△=4m²+16m＞0，方程有兩異號(hào)根，設(shè)為x₁＜0，x₂＞0，
∵x＞0，∴x₁應(yīng)舍去．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
則$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{2}）=0}\\{{g}^{′}（{x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2mln{x}_{2}-2m{x}_{2}=0}\\{2{{x}_{2}}^{2}-2m{x}_{2}-2m=0}\end{array}\right.$．
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0．①
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1．
∵當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程①的解為x₂=1．
代入方程組解得m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程組的求解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．