Question

16．已知圓O：x²+y²=4，直線l：y=kx-4．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當∠AOB=$\frac{π}{2}$時，求k的值．
（2）若k=1，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，問：直線CD是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由．
（3）若EF、GH為圓O：x²+y²=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，$\sqrt{2}$），求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出點O到l的距離，然后求解k即可．
（2）設(shè)P（t，t-4）．其方程為：x（x-t）+y（y-t+4）=0，利用C、D在圓O：x²+y²=4上，求出CD方程，利用直線系求解即可．
（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．通過${d_1}^2+{d_2}^2=|OM{|^2}=3$，求出面積表達式，然后求解最值．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）∵∠AOB=$\frac{π}{2}$，∴點O到l的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$…2 分
∴$\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$•2⇒$k=±\sqrt{7}$…4 分
（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)P（t，t-4）．
其方程為：x（x-t）+y（y-t+4）=0
即   x²-tx+y²-（t-4）y=0，…6 分
又C、D在圓O：x²+y²=4上，
∴l(xiāng)_CD：tx+（t-4）y-4=0即  （x+y）t-4y-4=0…8 分
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-4y-4=0\end{array}\right.$得  $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$
∴直線CD過定點（1，-1）…10 分
（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．
則${d_1}^2+{d_2}^2=|OM{|^2}=3$，…12 分
∴$|EF|=2\sqrt{{r^2}-d_1^2}=2\sqrt{4-d_1^2}$$|GH|=2\sqrt{{r^2}-d_2^2}=2\sqrt{4-d_2^2}$，
∴$S=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（4-d_1^2）（4-d_2^2）}≤4-d_1^2+4-d_2^2=8-3=5$，
當且僅當$4-d_1^2=4-d_2^2$即${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$時，取“=”，…14 分
∴四邊形EGFH的面積的最大值為5．…16 分

點評 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．