Question

2．已知曲線C在矩陣M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線C′：x²+y²=1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若曲線C′在矩陣N所對(duì)應(yīng)的變換下又得到曲線C，求矩陣N．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用曲線C上取點(diǎn)（x，y），在矩陣M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)（x′，y′），求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入x′²+y′²=1，可得曲線C的方程；
（Ⅱ）求出|M|，再求出矩陣N=M^-1．

解答 解：（Ⅰ）曲線C上取點(diǎn)（x，y），在矩陣M=$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$所對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)（x′，y′），則
$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{2}&{3}\end{array}）$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2x+3y}\end{array}\right.$，
代入x′²+y′²=1，可得x²+（2x+3y）²=1；
（Ⅱ）矩陣N=M^-1，
∵|M|=3，
∴N=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{-\frac{2}{3}}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣與變換，考查逆矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．