Question

13．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．下列四個命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	-1	-2	-2	-1

①函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為2；
②函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[m，5]時，f（x）的最小值是-2，那么m的最大值為4；
④函數(shù)y=f（x）-a（a∈R）的零點(diǎn)個數(shù)可能為0、1、2、3、4個．
其中正確命題的是①②③④．

Answer 1

分析 先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對4個命題，一一進(jìn)行驗(yàn)證可得到答案．

解答 解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：

由圖得：①由圖象可知f′（2）=0，f（x）在x=2處取得極大值，故①正確；
②因?yàn)樵赱2，4]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減，故②正確；
③如果當(dāng)x∈[m，5]時，f（x）的最小值是-2，則m∈[-1，4]，即m的最大值為4，故③正確；
④由圖可知：
若f（2）=M＞-1時，函數(shù)的最大值為M，則：
當(dāng)a＞M或a＜-2時，函數(shù)y=f（x）-a有0個零點(diǎn)；
當(dāng)a=M時，函數(shù)y=f（x）-a有1個零點(diǎn)；
當(dāng)a=-2或-1＜a＜M時，函數(shù)y=f（x）-a有2個零點(diǎn)；
當(dāng)-2＜a≤-1時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)；
若f（2）=M=-1時，函數(shù)的最大值為-1，則：
當(dāng)a＞-1或a＜-2時，函數(shù)y=f（x）-a有0個零點(diǎn)；
當(dāng)a=-2時，函數(shù)y=f（x）-a有2個零點(diǎn)；
當(dāng)a=-1時，函數(shù)y=f（x）-a有3個零點(diǎn)；
當(dāng)-2＜a≤-1時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)；
若f（2）=M＜-1時，函數(shù)的最大值為-1，則：
當(dāng)a＞-1或a＜-2時，函數(shù)y=f（x）-a有0個零點(diǎn)；
當(dāng)a=-2或M＜a＜-1時，函數(shù)y=f（x）-a有2個零點(diǎn)；
當(dāng)a=M時，函數(shù)y=f（x）-a有3個零點(diǎn)；
當(dāng)-2＜a＜M時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點(diǎn)；
故函數(shù)y=f（x）-a（a∈R）的零點(diǎn)個數(shù)可能為0、1、2、3、4個，故④正確；
綜上得：真命題有①②③④．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減