Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）試求曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）若x＞1，試判斷方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（Ⅱ）方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）即為xlnx-（x-1）（ax-a+1）=0，對a討論，令g（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1），求出導(dǎo)數(shù)，當a≤0時，當a$≥\frac{1}{2}$時，當0$＜a＜\frac{1}{2}$時，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，結(jié)合零點存在定理，即可判斷方程解的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
則f′（e）=2，又f（e）=e，
∴曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y-e=2（x-e），
即y=2x-e；
（Ⅱ）由f（x）=（x-1）（ax-a+1），得f（x）-（x-1）（ax-a+1）=0，
令g（x）=f（x）-（x-1）（ax-a+1）=xlnx-（x-1）（ax-a+1），
g′（x）=lnx+1-（ax-a+1）-（ax-a）=lnx-2a（x-1），
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，
當a≤0時，g′（x）＞0，∴g（x）為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0，則方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0個；
當a＞0時，令h（x）=lnx-2a（x-1），則h′（x）=$\frac{1}{x}$-2a，由h′（x）=0，得x=$\frac{1}{2a}$，
當x∈（$\frac{1}{2a}，+∞$）時，h′（x）＜0，h（x）在（$\frac{1}{2a}，+∞$）上為減函數(shù)，
若$\frac{1}{2a}≤1$，即a$≥\frac{1}{2}$，h（x）＜h（1）=0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，∴g（x）＜g（1）=0，
則方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0個；
若$\frac{1}{2a}＞1$，即0$＜a＜\frac{1}{2}$，
由h（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2a}，+∞$）上單調(diào)遞減，
且h（1）=0，$h（\frac{1}{2a}）=ln\frac{1}{2a}-1+2a＞0$，
∴h（x）=g′（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）和$（\frac{1}{2a}，+∞）$上各有一個零點，
即函數(shù)g（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）和$（\frac{1}{2a}，+∞）$上各有一個極值點，
設(shè)為x₁∈[1，$\frac{1}{2a}$），${x}_{2}∈（\frac{1}{2a}，+∞）$，
則g（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，
g（x₁）為極小值，g（x₂）為極大值，
∵g（x₁）＜g（1）=0，
g（x₂）=x₂lnx₂-（x₂-1）（ax₂-a+1）=x₂•2a（x₂-1）-（x₂-1）（ax₂-a+1）
=$a{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}-a+1$=（ax₂+a-1）（x₂-1）
當x₂＞$\frac{1-a}{a}$，g（x₂）＞0，方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為1；
當$\frac{1}{2a}$＜x₂＜$\frac{1-a}{a}$，g（x₂）＜0，方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0．
綜上可得，當a≤0時，方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0；
當a$≥\frac{1}{2}$時，方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0；
當0$＜a＜\frac{1}{2}$時，方程f（x）=（x-1）（ax-a+1）的解的個數(shù)為0或1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，同時考查零點的個數(shù)，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．