Question

12．如圖所示，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A-BCD．
（1）求證：BD⊥AC；
（2）若三棱錐A-BCD中，AB=AC=2，求點(diǎn)D到平面ABC的距離

Answer 1

分析 （1）取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，證明BD⊥平面AOC，即可證明BD⊥AC；
（2）取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，過(guò)點(diǎn)D做DH⊥BE于H，證明DH⊥平面ABC，利用等面積求點(diǎn)D到平面ABC的距離．

解答 （1）證明：取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，
∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴AC⊥BD．
故在折疊后的△ABD和△BCD中，有BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC．
∵AC?平面AOC，∴BD⊥AC；
（2）取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE，過(guò)點(diǎn)D做DH⊥BE于H，則△ABC，△ACD為等邊三角形，
∴BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE=E，
∴AC⊥平面BDE，
∵AC?平面ABC，
∴平面BDE⊥平面ABC，
∴DH⊥平面ABC，
∴DH為D到平面ABC的距離，
在△BDE中，BE=DE=$\sqrt{3}$，BD=2$\sqrt{2}$，BD上的高h(yuǎn)=1，
∴DH=$\frac{BD•h}{BE}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴D到平面ABC的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．