Question

9．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，2a_n-n=S_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式2ⁿ-1．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式求得數(shù)列首項，然后構(gòu)造出等比數(shù)列{a_n+1}，由等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由2a_n-n=S_n，得2a₁-1=a₁，解得a₁=1．
又2a_n-1-（n-1）=S_n-1（n≥2），
兩式作差得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
則${a}_{n}+1={2}^{n}$，即${a}_{n}={2}^{n}-1$．
故答案為：2ⁿ-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．