Question

18．已知圓C：（x-4）²+（y-3）²=1和兩點(diǎn)A（0，-m），B（0，m）（m＞0）．若圓C上存在點(diǎn)P使得∠APB=$\frac{π}{2}$，則m的范圍是（　�。�

• A． [4，6]
• B． （4，6）
• C． （6，+∞）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a，b+m），$\overrightarrow{BP}$=（a，b-m），利用∠APB=90°，求出m²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出m的取值范圍．

解答 解：∵圓C：（x-4）²+（y-3）²=1，
∴圓心C（4，3），半徑r=1；
設(shè)點(diǎn)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a，b+m），$\overrightarrow{BP}$=（a，b-m）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴a²+（b+m）（b-m）=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范圍是[4，6]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．