Question

6．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n，若$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$為公差是1的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及定義，解得d=2，進而得到通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$．運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由a₁=1，a_n=1+（n-1）d=nd+1-d，
若$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$為公差是1的等差數(shù)列，
則$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$nd+1-$\frac{1}{2}$d，
當(dāng)n≥2時，$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}$d=1，解得d=2，
則a_n=2n-1，n∈N*；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}}）$=$\frac{1}{4}（{\frac{4}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{n+1}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}$（n∈N^*）．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．