Question

18．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$．若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，（λ∈R），則點(diǎn)P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為（　�。�

• A． 5
• B． 10
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點(diǎn)軌跡，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$
∴B，D，P三點(diǎn)共線．
∴P點(diǎn)軌跡為直線BC．
在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$，
∴sinC=$\frac{5}{7}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×7×6×$\frac{5}{7}$=15，
∴S_△BCD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=5．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，正弦定理解三角形，屬于中檔題．