Question

5．若f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），x∈[0，2π]，并且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁，x₂，求m的取值范圍，并求此時(shí)x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有2個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂．再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合求得x₁+x₂的值．

解答 解：當(dāng)∈[0，2π]時(shí)，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象和直線y=f（x）=m有2個(gè)交點(diǎn)，
且x₁，x₂是這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
作出f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）在[0，2π]上的簡(jiǎn)圖，

由題意可得m∈（$\frac{1}{2}$，1）或m∈（-1，$\frac{1}{2}$）．
由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂；
當(dāng)m∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當(dāng)m∈（-1，$\frac{1}{2}$）時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=$\frac{4π}{3}$對(duì)稱，x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．