Question

14．已知（2+x）¹⁰的展開(kāi)式中，x^r項(xiàng)的系數(shù)為a_r（r=0，1，2，…，10），求a_r的最大值．

Answer 1

分析 （2+x）¹⁰的展開(kāi)式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}≤{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}}\\{{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}≥{∁}_{10}^{r+2}{2}^{8-r}}\end{array}\right.$，利用組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（2+x）¹⁰的展開(kāi)式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{r}$，
令$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}≤{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}}\\{{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}≥{∁}_{10}^{r+2}{2}^{8-r}}\end{array}\right.$，化為：$\left\{\begin{array}{l}{2（r+1）≤10-r}\\{2（r+2）≥9-r}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{5}{3}$≤$r≤\frac{8}{3}$，∴r=2．
∴T₄=${∁}_{10}^{3}×{2}^{7}$=15360．
∴a_r的最大值是15360．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．