Question

4．?dāng)?shù)列{x_n}滿足：x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，則下述和數(shù)$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$的整數(shù)部分的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，因此數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增，可得當(dāng)n≥4時(shí)，x_n＞1．另一方面由x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．利用“裂項(xiàng)求和”可得和數(shù)$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$，即可得出整數(shù)部分的值．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，
∴數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增，可得x₂=$\frac{4}{9}$，x₃=$\frac{52}{81}$，x₄=$\frac{52}{81}×（\frac{52}{81}+1）$＞1，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，x_n＞1．
∴$0＜1-\frac{1}{{x}_{2016}}$＜1．
∵x_n+1=x_n²+x_n，∴$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．
∴和數(shù)$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2015}}-\frac{1}{{x}_{2016}}）$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$的整數(shù)部分的值為2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．