Question

1．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{{{{sin}^2}{a_2}-{{cos}^2}{a_2}+{{cos}^2}{a_2}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_2}{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_4}+{a_5}）}}=1$，公差$d∈（-\frac{1}{2}，0）$若當(dāng)且僅當(dāng)n=11時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，則首項(xiàng)a₁的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{10}{11}π，π）$
• B． $[\frac{10}{11}π，π）$
• C． $[π，\frac{11}{10}π）$
• D． $（π，\frac{11}{10}π）$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡(jiǎn)已知的等式，根據(jù)公差d的范圍求出公差的值，代入前n項(xiàng)和公式后利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍求解首項(xiàng)a₁取值范圍．

解答 解：由$\frac{{{{sin}^2}{a_2}-{{cos}^2}{a_2}+{{cos}^2}{a_2}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_2}{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_4}+{a_5}）}}=1$，
得$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}（1-si{n}^{2}{a}_{7}）-co{s}^{2}{a}_{2}（1-co{s}^{2}{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$=$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-co{s}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$
=$\frac{（sin{a}_{2}cos{a}_{7}-cos{a}_{2}sin{a}_{7}）（sin{a}_{2}cos{a}_{7}+cos{a}_{2}sin{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$
=$\frac{sin（{a}_{2}-{a}_{7}）sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$=sin（a₂-a₇）=sin（-5d）=1
∴sin（5d）=-1．
∵d∈（-$\frac{1}{2}$，0），∴5d∈（-$\frac{5}{2}$，0），
則5d=$-\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{10}$．
由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁-$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{π}{10}$=-$\frac{{n}^{2}}{20}$π+（a₁+$\frac{π}{20}$）n．
對(duì)稱軸方程為n=$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$），
由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=11時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最大值，
∴$\frac{21}{2}$＜$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$）＜$\frac{23}{2}$，解得：π＜a₁＜$\frac{11π}{10}$．
∴首項(xiàng)a₁的取值范圍是（π，$\frac{11π}{10}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了三角函數(shù)的有關(guān)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件，考查了計(jì)算能力．