Question

10．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)
（1）判斷直線EF與平面BCD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得EF∥CD，然后利用線面平行的判定得答案；
（2）直接由三棱錐的體積公式結(jié)合已知條件求得三棱錐A-BCD的體積．

解答 解：（1）EF∥平面BCD．
事實(shí)上，
∵在△ACD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，
又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD；
（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB為三棱錐A-BCD的高，
又BC⊥BD，BC=BD=4，∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×4×4=8$，
又AB=3，∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×8×3=8$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．