Question

12．PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E為PB的中點(diǎn)，cos＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，若以如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（　�。�

• A． （1，1，2）
• B． （2，2，1）
• C． （1，1，1）
• D． $（1\;，\;1\;，\;\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 利用向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)P（0，0，t），（t＞0），D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，$\frac{t}{2}$），
∴$\overrightarrow{DP}$=（0，0，t），$\overrightarrow{AE}$=$（-1，1，\frac{t}{2}）$．
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{{t}^{2}}{2}$，$|\overrightarrow{DP}|$=t，$|\overrightarrow{AE}|$=$\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}$．
∵cos＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t×\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=2．
∴E（1，1，1）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．