Question

4．如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D．設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．則f（x）的定義域為（2，4）； f′（x）=0的解是3．

Answer 1

分析 本題要根據(jù)實(shí)際情況計算出定義域與函數(shù)的零點(diǎn)，可以看出所給的條件是△CPD，故可根據(jù)其是三角形求出自變量的范圍．面積表達(dá)式可以用海倫公式求出，對所得的函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解出即可．

解答 解：由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x
∵△CPD，∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞6-x}\\{2+6-x＞x}\\{x+6-x＞2}\end{array}\right.$，解得x∈（2，4）
如圖，三角形的周長是一個定值8，
故其面積可用海倫公式表示出來即f（x）=$\sqrt{4×（4-x）×（4-6+x）×2}$=$\sqrt{-{8x}^{2}+48x-64}$，
∴f′（x）=$\frac{-16x+48}{\sqrt{-{8x}^{2}+48x-64}}$，
令 f′（x）=0，解得x=3，
故答案為：（2，4），3．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，學(xué)習(xí)中積累一些知識儲備，視野開闊，易找出簡單的解題方法．本題考查到了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有一定的綜合性．