Question

13．設(shè)f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ，n∈N，如果A⊆{f（n）}，則滿足條件的集合A有8個．

Answer 1

分析 首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，然后根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)分類討論，求出f（n）中的元素，則答案可求．

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=\frac{2i}{2}=i$，
∴$\frac{1-i}{1+i}=-i$．
根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)有：f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ=${i}^{n}+（-i）^{n}=\left\{\begin{array}{l}{2（n=4k，k∈Z）}\\{0（n=4k+1，k∈Z）}\\{-2（n=4k+2，k∈Z）}\\{0（n=4k+3，k∈Z）}\end{array}\right.$，
∴f（n）有三個不同的值，即f（n）=-2，0，2，A是{f（n）}，它的一個子集．
∴A={-2}，{0}，{2}，{-2，0}，{0，2}，{-2，2}，2，0，2}，{∅}．
則滿足條件的集合A有8個．
故答案為：8．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了分類討論的思想方法，是中檔題．