Question

設(shè)x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，）．
（I）求x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)y=，試問當(dāng)θ變化時(shí)，y有沒有最小值，如果有，求出這個(gè)最小值，如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函數(shù)的輔助角公式可求得x=，0＜θ＜，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)u（x）=x+，則u′（x）=1-，依題意，可求得0＜x≤時(shí)，u′（x）＜0，從而可對(duì)題目要求作出判斷．
解答：解：（Ⅰ）x=log₂（sinθ+cosθ）=，…（2分）
∵0＜θ＜，
∴＜θ+＜，…（4分）
∴1＜sin（θ+）≤，即0＜x≤．…（7分）
（Ⅱ）設(shè)u（x）=x+，則u′（x）=1-，…（8分）
當(dāng)0＜x≤時(shí)，u′（x）＜0，
故u（x）在（0，]上是減函數(shù)．               …（11分）
∴當(dāng)x=時(shí)，u（x）有最小值，
∴y=當(dāng)θ變化時(shí)，y_min==．  …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求得x=是關(guān)鍵，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．