Question

（2007•汕頭二模）設(shè)x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，

π

2

）．
（I）求x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)y=

x+ 1 x

，試問當(dāng)θ變化時(shí)，y有沒有最小值，如果有，求出這個(gè)最小值，如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數(shù)的輔助角公式可求得x=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]，0＜θ＜

π

2

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)u（x）=x+

1

x

，則u′（x）=1-

1

x2

，依題意，可求得0＜x≤

1

2

時(shí)，u′（x）＜0，從而可對(duì)題目要求作出判斷．

解答：解：（Ⅰ）x=log₂（sinθ+cosθ）=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]，…（2分）
∵0＜θ＜

π

2

，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，…（4分）
∴1＜

2

sin（θ+

π

4

）≤

2

，即0＜x≤

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）設(shè)u（x）=x+

1

x

，則u′（x）=1-

1

x2

，…（8分）
當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，u′（x）＜0，
故u（x）在（0，

1

2

]上是減函數(shù)．               …（11分）
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，u（x）有最小值

5

2

，
∴y=

x+ 1 x

當(dāng)θ變化時(shí)，y_min=

5 2

=

10

2

．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求得x=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]是關(guān)鍵，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．