Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx（k∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，若x₁•x₂＞e^m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由k=$\frac{lnx}{x}$有解，求出g（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到k的范圍；
（3）若x₁•x₂＞e^m恒成立，即有x₁x₂的最小值小于e^m，先證明：x₁•x₂＞e²，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)的定義和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得證，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-k=$\frac{1-kx}{x}$．
①若k≤0，則f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
②若k＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{k}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{k}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{k}$），遞減區(qū)間為（$\frac{1}{k}$，+∞）；
（2）由k=$\frac{lnx}{x}$有解，由g（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$．
則有k≤$\frac{1}{e}$．
故函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{e}$]；
（3）若x₁•x₂＞e^m恒成立，即有x₁x₂的最小值小于e^m，
先證明：x₁•x₂＞e²，
∵f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)，
∴設(shè)lnx₁=kx₁，lnx₂=kx₂，①
即lnx₁-lnx₂=k（x₁-x₂），
∴$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k②
而x₁•x₂＞e²，等價(jià)于：lnx₁+lnx₂＞2，即k（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，
不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
上式轉(zhuǎn)化為：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1
設(shè)H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
則H′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
故函數(shù)H（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，即x₁•x₂＞e²，
故e^m≤e²，即m≤2．
則m的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．