Question

1．已知圓x²+y²=4的圓心為O，點P是直線l：mx-y-6m+4=0上的點，若該圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，則實數(shù)m的取值范圍為0≤m≤$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，此時OP=4，利用圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，可得圓心到直線的距離d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，進而得出答案．

解答 解：由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，此時OP=4．
∵圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，
∴0≤m≤$\frac{12}{5}$，
故答案為：0≤m≤$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離的計算公式、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．