Question

16．設(shè)O是△ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知b²-2b+c²=O，求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的最小值．

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，可得OD⊥BC，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}$，可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}）$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，
取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD．
則OD⊥BC，
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0．
又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}）$•$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（^{2}-{c}^{2}）$
=b²-b
=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的最小值為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂經(jīng)定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．