Question

2．復(fù)數(shù)z，w滿足zw+2iz-2iw+1=0，|z|=$\sqrt{3}$，證明：|w-4i|是常數(shù)并求出這個(gè)常數(shù)．

Answer 1

分析 將zw+2iz-2iw+1=0，求出化簡z，用|z|=$\sqrt{3}$，解w然后求出|w-4i|即可．

解答 由已知得z=$\frac{2iw-1}{w+2i}$．又∵|z|=$\sqrt{3}$，
∴|$\frac{2iw-1}{w+2i}$|=$\sqrt{3}$．
∴|2iw-1|²=3|w+2i|²．
∴（2iw-1）（-2i$\overline{w}$-1）=3（z₂+2i）（$\overline{w}$-2i）．
整理得：w$\overline{w}$+4iw-4i$\overline{w}$-11=0．
即（w-4i）（$\overline{w}$+4i）=27．
∴|w-4i|²=27，
即|w-4i|=3$\sqrt{3}$．
∴：|w-4i|是常數(shù)并，這個(gè)常數(shù)存在常數(shù)k=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)方程的化簡，以及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．