Question

18．已知數(shù)列{a_n}的第1項(xiàng)a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}（n∈{N^*}）$．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式可求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）通過(guò)觀察歸納出規(guī)律，從而猜想其通項(xiàng)公式，即可用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由題意可得：a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$…3分
（2）通過(guò)觀察歸納出規(guī)律：其通項(xiàng)應(yīng)是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子為1，分母與相應(yīng)的下標(biāo)相同，故猜想a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．…6分
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即：a_k=$\frac{1}{k}$，
那么，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+{a}_{k}}$=$\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}$=$\frac{1}{k+1}$，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
根據(jù)①②，可知猜想對(duì)任何n∈N^*都成立…14分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，正確理解遞推關(guān)系并求出數(shù)列的前幾項(xiàng)和使用歸納推理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．