Question

3．已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0），
（1）若不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，
（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，可得 x₁=-3，x₂=-2是方程kx²-2x+6k=0的兩根，利用韋達(dá)定理求得k的值．
（2）由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得k的取值范圍．

解答 解　（1）∵關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，
∴x₁=-3，x₂=-2是方程kx²-2x+6k=0的兩根，所以x₁+x₂=$\frac{2}{k}$=-5，∴k=-$\frac{2}{5}$．
（2）若不等式的解集為R，即kx²-2x+6k＜0恒成立，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△=4-2{4k}^{2}＜0}\end{array}\right.$，求得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．