Question

19．求函數(shù)y=$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+{3}^{x+1}+2}$的最大值．

Answer 1

分析 令t=3^x，（t＞0），則y=$\frac{t}{{t}^{2}+3t+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$，結(jié)合基本式，先分析分母的取值范圍，進(jìn)而求出函數(shù)的值域，可得答案．

解答 解：令t=3^x，（t＞0），
則y=$\frac{t}{{t}^{2}+3t+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$，
∵$t+\frac{2}{t}≥2\sqrt{2}$，
故$t+\frac{2}{t}+3≥3+2\sqrt{2}$，
故0＜$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+3}$≤$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=$3-2\sqrt{2}$，
即函數(shù)y=$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+{3}^{x+1}+2}$的最大值為$3-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，其中利用換元法，將一個(gè)指數(shù)型的解析式，化為分式型的解析式，是解答的關(guān)鍵．