Question

4．求函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．

Answer 1

分析 利用換元法令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），從而可得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，從而可得f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t²+2t-1）=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1；從而求函數(shù)的值域．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
則-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則f（x）=sinx+cosx+sinxcosx
=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t²+2t-1）
=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1；
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤$\frac{1}{2}$（t+1）²-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
故函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域為[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了換元法與配方法求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．