Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a2

a•2x

，x∈R，其中a≠0．
（1）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-2^x，若函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求出零點(diǎn)（可用a表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，從而由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，從而分a＜0與a＞0求只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值，進(jìn)而求出零點(diǎn)．

解答： 解：（1）證明：函數(shù)f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，
∵a＞0，∴y=

a

2x

是R上的減函數(shù)，
∴y=-

a

2x

是R上的增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

1

a

-

a

2x

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，
當(dāng)a＜0時(shí)，易知函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→-∞，
當(dāng)x→-∞時(shí)，h（x）→+∞；
故函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
令

1

a

-

a

2x

-2^x=0解得，
x=log₂

1+ 1-4a3

-2a

；
當(dāng)a＞0時(shí)，
h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x=

1

a

-（

a

2x

+2^x）；
由

a

2x

+2^x≥2

a

知，
當(dāng)

1

a

-2

a

=0，即a=

3 2

2

時(shí)，函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
故此時(shí)x=-

1

3

；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{

3 2

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時(shí)考查了零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于中檔題．