Question

設f₀（x）=x，f_n（x）=

∫

x 0

f_n-1（t）dt，n=1，2，3，…，則f₂₀₁₂（x）=

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的綜合應用

分析：利用定積分的運算法則找出其規(guī)律即可得出．

解答： 解：由題意，f1(x)=

∫

x 0

f0(t)dt=

∫

x 0

tdt=

1

2

t2

|

x 0

=

1

2

x2；
f₂（x）=

∫

x 0

f₁（t）dt=

∫

x 0

1

2

t2dt=

1

2

×

1

3

t3

|

x 0

=

1

2

×

1

3

x3；
f₃（x）=

∫

x 0

f2(t)dt=

∫

x 0

1

2

×

1

3

t3dt=

1

2

×

1

3

×

1

4

x4；
…
f₂₀₁₂（x）=

x2013

2013!

；
故答案為：

x2013

2013!

點評：本題考查了定積分的計算，根據是利用定積分的運算法則得出其規(guī)律進行歸納總結．