Question

2．已知（x+2）²ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_2n-1（x+1）^2n-1+a_2n（x+1）²ⁿ，n≥2，n∈N⁺，則a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n=2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 觀察二項(xiàng)式，將左邊變形為關(guān)于x+1的二項(xiàng)式，然后求展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和減去常數(shù)項(xiàng)得到所求．

解答 解：由已知得到（x+1+1）²ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_2n（x+1）²ⁿ，n≥2，n∈N⁺，
所以令x+1=1，得到a₀+a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n=2²ⁿ①；n≥2，n∈N⁺，
令x+1=-1，得到a₀-a₁+a₂-…-a_2n-1+a_2n=1；②
①+②得到2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n）=2²ⁿ+1，其中a₀=1；
所以a₂+a₄+…+a_2n-2+a_2n=2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$；
故答案為：2${\;}^{2n-1}-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題；關(guān)鍵是對(duì)二項(xiàng)式正確變形，對(duì)變量正確賦值，得到所求．