Question

11．若不等式x²+ax+1＞0對于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意，分離參數(shù)得到，a＞-（x+$\frac{1}{x}$）x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，求出函數(shù)的最值即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：不等式x²+ax+1＞0對于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
∴a＞-（x+$\frac{1}{x}$）x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，
設(shè)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
則f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在∈（0，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，
∴f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴a＞-$\frac{5}{2}$，
故答案為（-$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 此題考查求參數(shù)范圍，一般用分離參數(shù)法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．