Question

13．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{OB}$=（3，2），$\overrightarrow{OC}$=（M，2M+1），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，
（1）求實(shí)數(shù)m滿足的條件；
（2）若△ABC為直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，因?yàn)锳，B，C能構(gòu)成三角形，故點(diǎn)A，B，C不共線，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，得到關(guān)于m的不等式解之；
（2）由已知三角形為直角三角形，得到有三種可能，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到m的三個方程解之．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=（1，3），$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（m-2，2m+2），
又A，B，C能構(gòu)成三角形，故點(diǎn)A，B，C不共線，即$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，
所以3（m-2）-（2m+2）≠0，解得m≠8；
（2）由題知△ABC為直角三角形，即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，或者$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$或者$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$，
且$\overrightarrow{BC}$=（m-3，2m-1）
所以m-2+3（2m+2）=0或者m-3+3（2m-1）=0或者（m-2）（m-3）+（2m+2）（2m-1）=0，
解得，m=$-\frac{4}{7}$或者m=$\frac{6}{7}$或者∅，
所以當(dāng)△ABC為直角三角形，m的值為$-\frac{4}{7}$或者m=$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的共線、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題．